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二重积分例题权威发布_二重积分什么时候可以拆开算(2024年12月精准访谈)

内容来源：亚心网络所属栏目：观点更新日期：2024-12-02

二重积分例题

二重积分经典例题与解析二重积分在高数中是一个非常重要的考点，题目难度不一，但都有详细的解析。以下是几个经典的二重积分例题，帮助大家更好地理解和掌握。填空题设D是由yⲽx和y=x-2围成的区域，求∫∫D xy dxdy。解析：首先确定积分区域D，然后根据二重积分的定义进行计算。设D是xy=1，x=2，y=x围成的区域，求∫∫D dxdy。解析：同样需要先确定积分区域D，然后进行计算。设f(x,y)在区域D:x+ys≤rⲤ𘊨🞧𛭯𜌦𑂢ˆ뢈넠f(x,y)dxdy。解析：利用二重积分的定义和性质进行计算。设区域D为(x-2)ⲫ(y-2)Ⲣ‰䲯𜌤𘔢ˆ뢈넠f(x,y)dxdy = ∫∫D f(x,y)Ⲥxdy，求f(x,y)的大小关系。解析：根据题目条件进行推导和计算。单项选择题设D是两坐标轴及x+y=1围成的区域，求∫∫D xdxdy。解析：利用二重积分的定义和性质进行计算。二重积分cos(xⲫyⲩdxdy的值为多少？解析：根据二重积分的定义和性质进行计算。由xy=2，x=4与x=1围成的图形的面积为多少？解析：利用二重积分的定义和性质进行计算。二重积分y dxdy的值为多少？解析：根据二重积分的定义和性质进行计算。设D是以点(1,1)，(-1,1)，(-1,-1)为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限的部分，求∫∫D1 (xy+1)dxdy。解析：利用二重积分的定义和性质进行计算。解答题计算二重积分∫∫D f(x,y)dxdy，其中D:x+ys1。解析：根据二重积分的定义和性质进行计算。设f(x,y)为连续函数，改变下列二次积分的积分次序：f(x,y)dxdy。解析：利用二重积分的性质进行积分次序的变换。计算二次积分∫∫D ydxdy，其中D为0≤x≤𜌰≤y≤€‚ 解析：根据二重积分的定义和性质进行计算。设区域D为0≤x≤𜌰≤y≤𜌦𑂢ˆ뢈넠sin(x+y)dxdy。解析：利用二重积分的定义和性质进行计算。将∫∫D f(xⲫyⲩdydx化成极坐标下的二次积分。解析：利用极坐标与直角坐标的关系进行计算。设F(t)=∫∫D f(x,y)dxdy，其中f(x,y)= x+y≤t，求F(t)。解析：根据二重积分的定义和性质进行计算。设f(t)连续，证明∫∫D (x+y)dxdy = ∫∫D dxdy，其中D= {(x+y)≤t}。解析：利用二重积分的性质进行证明。设f(t)连续，积分区域D= {(x,y)| x≤1, 0≤x≤1}，试证明：∫∫D f(x+y)dxdy = ∫∫D f(x+y)dydx。解析：利用二重积分的性质进行证明。设函数f(t)具有连续导数，且满足f(0)=0，f'(0)=6，计算lim f(r+yⲩdxdy (0

无基础如何一个月拿数竞省一？如果你：没有特别好的数学基础只有一个月的准备时间只想拿到省一等奖不想刷太多题那你来对地方了！我来分享一下我如何在一个月内拿到省一等奖的经历。我是从九月中旬开始准备的，到十一月十一日。中间有半个多月没好好听课，导致初赛的时候二重积分还没学到。不过幸运的是，我把能写的都写了，最后过了初赛。省决赛在11月25日，中间有14天时间。因为初赛后我觉得进不了省决赛，所以初赛后就没再管数学。但过了四天，我接到通知要去省决赛，于是10天内极限学完了视频，最后曲面积分和曲线积分也没学（不巧的是这两块知识考了一个大题一个小题）。不过对我来说，只要拿个省一，这些都不重要。那我这一个月都做了什么呢？我只看了武忠祥的考研数学基础班，跟着他踏踏实实打基础。因为我的基础不太好，武老一个半小时的视频我能看四个小时。视频中的例题我是先写后听，每次写的时候能想到几个方法就写几个方法。每听完一节会画这节知识点的思维导图，重点难点一目了然，包含一系列解题方法。事实证明，画思维导图在考前一天的复习时起到了至关重要的作用。所以，想快速拿个省一，不需要浦和平不需要黄皮书，只需要找个数学一的考研视频，保质保量的听课（我听的是武忠祥基础班24讲）一天一讲，一个月保证拿省一（对于特别强的省可能这些远不够），大家加油！𐟒ꀀ

✅给25考研党的10月备考规划 ⭕数三: 10月份大家数三应该都已经进行到了强化阶段，去年考研的强化阶段我是这样进行: 1️⃣高数:武忠祥强化网课十讲义例题十严选题，一刷之后马上进行了讲义例题和严选题错题的二刷。一刷的时候因为刚学完概率基础，所以同时也在刷660概率。二刷的时候是配合着660高数部分一起二刷的，大概用了18天。二刷结束后，我挑了自己比较薄弱的章节比如二重积分，中值定理看了张宇老师和汤家凤老师的W课，用了两天。 𐟌𜲵考研Z题，大家要好好看哦𐟘𒯼Œ虽说数学基础因人而异，但是好好复习是没错的。当然，大家在备考的时候𐟙…不要忘记Z题的重要性‼️，学会合理利用Z题，提高了学习XL，正确率提高不少，总分提升了，那我们就离目标院校更进一步啦𐟒민Œ对了‼️这些𐟓„我是在高｜途App上𐟑†搜索“考研考试干货”找到的，大家不妨去看看𐟈𖦲ᦜ‰自己所需要的𐟘„ ✅英一: 1️⃣单词:因为前面已经用纸质书背过几轮了，所以后来我每天大概用50分钟左右，用软件“不背单词”背单词。#高途APP# #考研#

考研一周记𐟓š：效率翻倍！ 𐟌Ÿ 这一周，我意外地完成了学习计划，这得益于我对时间的合理安排。学习时间的长短直接影响到学习任务的完成情况，没有足够的时间，计划再完美也无法实现。𐟘“ 𐟒ᠩ™䤺†时间，学习效率也同样重要。加入了一个内卷自习室，逐渐适应了那里的学习氛围，和大家一起努力，效果显著。𐟓– 𐟑颀𐟑砨🙤𘀥‘诼Œ我还和妈妈一起度过了美好的四天，母女之间的时光总是那么珍贵。𐟒– 𐟔„ 现在，让我来回顾一下这一周的学习情况： ✓ 英语：每天背诵单词，分析长难句，阅读02年真题T2部分。 ✓ 数学：多元函数部分已学完，完成了例题和课后题，以及张宇300题。 ❌ 积分部分还未完成，这周几乎没动。 ✓ 数据结构：学完了栈和队列，完成了相应课后题。 ❌ 软考复习进度缓慢，不知从何开始，感觉需要背诵的内容太多。 𐟓… 下一周的学习计划如下： ① 英语：完成02年真题，并整理01+02真题的复盘。 ② 数学：学完二重积分，完成课后题和300题。 ③ 刷三大计算题。 ④ 数据结构：学完串和树，做课后题并整理错题。 ⑤ 软考：开始背诵知识点，倒计时40天。𐟒ꊊ𐟒ᠩ€š过这一周的学习，我深刻体会到时间和效率的重要性。希望在接下来的考研路上，我能继续保持这种状态，取得更好的成绩！𐟓ˆ

一周高数基础学习总结与反思 𐟓š 昨天听课听得有点晚，效率也不高。今天不仅起晚了，而且感觉昨天听的内容像没听过一样，一片空白，真的很崩溃。本来心情就不好，加上自己容易因为小事影响状态，所以平时做事尽量远离人群。但有时候事情就是找上门来。因为起晚了，上午没去自习室，家里人随口说了一句“要不你别考了”，真的伤到我了。我真的很想说，我每天上午十点去，晚上十点多回，真的觉得我没在努力吗？虽然我每天学不到十个小时，但我坚持每天学就是积累啊。感觉家里人虽然心里是爱我，但说不出一句能安慰我的话，真的很沮丧。原本打算挑着做题，但在挑着做完一篇后对答案，发现这个学习包的答案有点问题。用的是武忠祥基础班的学习包，但答案步骤是手写答案，从定积分开始就有好几处小错误。心里有点信不过，昏倒。因为昨天听课效率不高，不做题好像真的不行。今天又重听了一遍18讲，又重看了一遍教材的例题，还把我自己感觉没搞懂的地方找对应视频看了一下。有点纠结，感觉这个地方没太学好，做基础题的时候还有没思路的情况，而且总是把方程的解写错，就差一点的感觉。好像这一章没写什么题。打算一轮基础过完之后拿汤家凤的高数辅导讲义看一遍例题，明天开始二重积分。

湖南专升本数学143分备考攻略！ 𐟓š 打好基础对于大多数零基础的同学来说，首先要巩固高中数学的基础知识。比如平方差公式、立方差公式、常见的乘除约分运算、指数函数运算、三角函数以及常见函数图像等。 𐟒ᠥš题技巧别钻牛角尖！任何题型都不要想得太复杂，答案往往在题干中很明显。如果想到自己以前做过类似的题型，就用相同的解题方法做题。先把24年的统考真题做三遍，很多知识点都是相通的，通过做题找到自己的薄弱点。高数必考的函数有：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数（背熟背烂！）。求极限的题型：0:0型、∞:∞型等价无穷小还是抓大头，1的∞型第二重要极限。不定积分的方法：根式换元、分部积分、凑微分法。二重积分的题型：面积、体积、极坐标等。无穷级数的样式：正向级数、交错级数、任意项级数、幂级数，不同级数不同符号样式。 𐟓 备考方法预习：课前预习很重要，先了解本节课的内容和重难点，这样上课听更有侧重点。背公式：公式、定理、相应例题非常重要。很多题做不出来是因为找不到切入点，只有掌握例题的题眼——公式间的联系，做题才会更轻松。听课：听课不要放在技巧上，主要是学思路，因为不是所有题都能让你“秒杀”。刷题：基础课听完就该刷题了，直接刷模拟题，后期每天一套卷，抓自己的薄弱点和优势。错题要及时整理，每周考点尽量当天解决。 𐟒– 备考心得基础薄弱的题型就往死里刷，基础不牢固别上去就刷套卷。后期每周计时模拟一套卷，严格按照考场时间来，做完要对答案修改和复盘，把错题捋顺。每天10极限+10求导+10积分题保持手感，不要做太难太偏的题，找些基础题训练计算能力和速度就好。一定要给自己进步的过程，一轮做基础题，二轮上难度，三轮抓难题和技巧，把每一步走稳走扎实！

考研高数各章节最强名师推荐考研高数其实并没有那么难，只要找对老师和方法，按部就班地复习，上岸是必然的事情。以下是我为大家整理的高数各章节最强名师推荐，希望能对你们有所帮助。极限与函数 𐟓š 武忠祥：在等价无穷小方面有独到之处，计算更加简洁快速。他的三步走和泰勒公式的简化形式非常实用。张宇：不等式的放缩和夹逼原理处理得非常好。中值定理 𐟓 张宇：总结了各种题目类型的解决方法，超过十种题型，非常全面。不定积分和定积分 𐟓 武忠祥：应用题求旋转体体积（二重积分方法）和物理应用讲得很透彻。杨超：适合基础较差的同学。多元函数微分学 𐟌 武忠祥：概念最清晰，链式求导法则讲得很明白。张宇：对于想要深度学习的同学，张宇老师讲得比较深入，例如雅可比行列式的使用。二重积分 𐟓– 武忠祥：17堂课，基础差的同学可以理清解题思路，拓展内容多，适合想提高的同学。三重积分和线面积分 𐟌 武忠祥：讲解轻概念重解题。张宇：讲得非常全面，但有一定难度。空间解析几何 𐟌Œ 汤家凤：适用于基础一般的同学，讲解由浅入深。张宇：适用于基础较好的同学，讲解非常全面。级数 𐟓ˆ 武忠祥：基础一般推荐武忠祥强化班或者17堂课，讲得清晰易懂。张宇：适合想要深入的同学，题目类型总结非常全。微分方程 𐟌€ 汤家凤：物理应用，内容比较全。差分方程和数学三专题 𐟓‰ 汤家凤：差分方程在经济学应用比较多，另外经济学还有一些概念需要记住，难度不大，分占比较小。小结 𐟓 张宇老师：讲课有趣，注重对数学思维的锻炼，比较发散。他的强化班适合想冲分的同学，但例题不够典型，对各类题方法总结不够。汤家凤老师：上课十分严谨，讲课速度较慢。基础课程详细，适合基础不好的同学，但有一定的口音，可能有听不清的情况存在。武忠祥老师：逻辑性很强，会告诉解决方法。强烈建议做一遍真题然后在看武老师老师的17堂课。查缺补漏，专攻某一类题型。最后，祝愿所有有梦想的人都能成功上岸！！！

首发，冲刺小班定制：两小时彻底拿下定积分应用，只讲重难点和易错。甚至到考前这个部分也只需要复习我讲的例题即可[赞同]数学二几乎必考。前言：对于一方面不会推导，另一方面又不想背，还不学所谓“超纲”方法的同学千万别来找我，只会浪费彼此时间。此外，严格意义上零基础的也别来，但你只要了解过一点，必拿满分。讲解内容包含以下几个要素： 1.常用积分值结果的记忆，一些特定结构的三角积分与无理积分处理及记忆。 2.典型图像与难画图问题的处理，常用形心、面积积累。本次的研究内容： 1.弧长，旋转体侧面积，平均值（没什么难点，16年真题就是这个类型巅峰，关键在于运算。） 2.面积（难点在于区分定积分与面积代数和的关系） 3.旋转体积：利用古尔金定理（三大坐标系下二重积分运算，没难度，找准积分区域D）与定积分微元一般公式的应用（为了高效解决14年真题）这一节全是重点，几乎必考。 4.LT算法在周期函数里的应用（这一集只为了解决18、19真题以及宇哥18讲。）备课主要素材：37年典型真题，宇哥18讲题库、李艳芳900题。其他一些准备：对于定制同学的问题，课上视频答疑，逐一解决。人数与价格：人数：不超过五人。一对一，350/h、3-5人一次课200r 当然本次讲解的方法，讲义中均有所体现。数2年年考，数1四年没考。 #考研数学# #考研数学真题分类# #张宇#

24考研数一128分：我的备考心得分享说实话，英语一真的不算什么，做过24考研数学一真题的人都知道数一的含金量。去年12月份做题时，我就感觉不太对劲，目标135分+，毕竟我真的投入了很多心血给数学。以下是一些备考经验，希望能帮到你：数学真题的计算量相当大，要重视计算，喜欢算数一专项要重点复习，很爱考，学得好能比别人高20分左右数学少做一些自我感动的事，比如纯记笔记，重要的是搞懂这个知识点周洋鑫是个宝藏，幽默专业认真，比学生还努力。基础不错的可以跟他学，基础不好的更要跟他学很多选择题可以用技巧法选出正确答案真题构成有简单题、中等题和难题，前两种都拿下就能考一个不错的成绩学习资料推荐：大纲基础精讲一本通、考点全刷、何止十年真题、李林6＋4模拟卷、周洋鑫冲刺预测4套卷等每个人的进度不一样，没必要去比进度，有自己的节奏就好，不要为了赶进度而得不偿失基础阶段对比较难的点，比如数列极限和中值定理，一开始学不会不要硬磕，可以留到强化阶段来学可以把更多的精力拿来熟悉基础和概念，多练一下计算，比如极限、函数求导和积分、二重积分、常见的微分方程，这些本身不难，但需要花时间去熟悉和提高正确率和速度整理一个错题本，或者不记错题的也要把错题标注上，没事了就翻一翻，错题全都消灭掉。错题是最好的复习资料，多做几遍错题比做新题收获的会更多不要买好几本练习题，先做完一本再说，盲目刷题不可取现在大多数人还是在基础阶段，没必要花太多时间在习题上，应该要以例题为主，一般考研书上的例题质量都很好，一定要反复做，习题是巩固的作用希望这些经验能帮到你，祝大家都能取得好成绩！

复盘总结：数学之旅的点滴收获𐟓š 这次的数学考试真是让我又爱又恨。第一套试卷的计算量简直大到吓人，花了105分钟才搞定选择题和填空题，真是让人心累𐟘𕣀‚ 选择题和填空题复盘 T1：这道题是18讲上的原题，武神的强化讲义上也有，真是经典中的经典。 T2：常规题，我喜欢用泰勒公式求几个导数，简单粗暴，效率高。 T3：定积分定义题，刚开始做的时候被这形式唬住了，后来发现其实不难。 T4：条件极值题，用了拉格朗日乘数法，但还是咋子哥的化参数方程方法更好算。 T5：分段求积分加上点火公式，这道题算是比较常规的。 T6：构造函数不好想，直接用特殊函数法搞定！ T7：物理应用题，涉及相关变化率，这类题真是让人又爱又恨。 T8：特征多项式题，𐟐™上课重点讲了，这道题算是送分题。 T9：这道题答案看不懂，可以用代数方法做，取一个标准单位向量（特殊化），代选项即可。 T10：九讲结论题，书上有证明，这道题算是比较简单的。 T11：这道题算了快十分钟，真是让人抓狂！ T12：算的时候抄错上限了，真是焯！ T13：分部积分更好算，这道题算是比较常规的。 T14：换元法，做平移变换，线性方程的中心化，这部分𐟐™课上花了大量时间来讲。 T15：十八讲改编题，有两道原题，三种方法（两种换元+一个多元微分）。 T16：常规题，喜欢展开法，感觉逆序数法用的不安心。 T17：一千题中值定理那章的两个原题改编，算的时候有个小技巧：分子e的x次方较多，同除e的x次方（恒正），分子再求导可以简化运算。 T18：宇的怜悯，这道题真是让人心疼。 T19：好题！第一问懒得算五个偏导数，可以反解x.y求两个偏导然后系数成比例即可，武神强化课上有讲这种方法。第二问想了会没想出来，本来想最后再做，写完线代之后发现到点了。 T20：一千题二重积分基础篇最后一题的第一问改编，一千题那个比这个更难一点。 T21：看到数字要敏感，看到数字24感觉大概率是矩形近似法，一写果然。 T22：若尔当标准型，线代九讲上有两三个类似的例题，二阶用待定系数法，三阶构造列向量用方程组的思想来做。明天要攻克一下薄弱点，写一章多元函数微分𐟒ꣀ‚这次的数学之旅虽然有些坎坷，但收获满满，期待下次能更上一层楼！

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